Il Teorema dei seni

Uno dei principali vantaggi della trigonometria è il fatto che ci consente di trattare i triangoli "qualunque" alla stregua dei più "nobili" triangoli rettangoli. Il più noto fra i teoremi che stabiliscono equivalenze fra queste due "coppie" di triangoli è il cosiddetto teorema dei seni.

Grazie ad esso possiamo:

conoscendo due lati ed un angolo trovare l'altro angolo
conoscendo due angoli ed un lato trovare l'altro lato

Enunciamo il teorema:

Ora dimostriamolo.

Consideriamo un triangolo ed il cerchio ad esso circoscritto:

Prendiamo un vertice, ad esempio C, e da esso tracciamo il diametro del cerchio CD; colleghiamo poi D con A:

Il triangolo CDA è rettangolo perché iscritto in una semicirconferenza (CD = 2r); inoltre l'angolo in D, come angolo alla circonferenza che insiste sull'arco AC, vale anche lui β: sappiamo infatti che lungo lo stesso arco l'ampiezza di un angolo alla circonferenza che insiste su un arco resta costante (vedi anche teorema della corda), e quindi possiamo usare le proprietà dei triangoli rettangoli (in ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto considerato) e scrivere:

b = 2r sen β

e quindi

Consideriamo ancora lo stesso vertice C e tracciamo sempre il diametro CD, ma stavolta colleghiamo il punto D al vertice B; otteniamo il triangolo CDB:

Il triangolo CDB è rettangolo perché iscritto in una semicirconferenza (CD = 2r), inoltre l'angolo in D, come angolo alla circonferenza che insiste sull'arco BC (vedi sopra), vale anche lui α; e quindi possiamo usare la stessa proprietà dei triangoli rettangoli vista sopra, e scrivere:

a = 2r sen α

e quindi

Adesso invece cambiamo vertice, per poter considerare il terzo angolo, e prendiamo il vertice A; tracciamo il diametro AE e colleghiamo il punto E al vertice B; otteniamo il triangolo AEB:

Il triangolo AEB è rettangolo perché iscritto in una semicirconferenza (AE = 2r); inoltre l'angolo in E, come angolo alla circonferenza che insiste sull'arco AB, vale anche lui γ (vedi sopra), e quindi possiamo nuovamente usare le proprietà dei triangoli rettangoli e scrivere:

c = 2r sen γ

e quindi

Mettndo assieme le tre relazioni otteniamo:

c.v.d.

(Fonte:

http://www.ripmat.it/mate/i/id/idd.html)