PROPRIETA' ALGEBRICHE DI ф

 

 

 

AB : AC = AC : CB

 

Iniziamo col calcolare il valore di ф.
Dato il segmento AB e diviso (secondo il rapporto aureo) nel punto C, definiamo AC = x e BC = 1.


Notiamo come si possa scrivere che

quindi                        

 e                       

perciò le soluzioni sono:   

                                           

La soluzione positiva fornisce il valore del rapporto aureo: 1,6180339887…....
Analizziamo ora alcune proprietà legate a questo risultato. 
Si provi ad elevare l’intero numero al quadrato e successivamente si faccia il reciproco (
 ); curioso, vero? Il quadrato è 2,6180339887…. mentre il suo reciproco è 0,6180339887…..
Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse!

Paul S. Bruckman, di Concord in California, ha pubblicato nel 1977 una graziosa poesia intitolata Media costante:

La media aurea non è affatto banale
Tutt’altra cosa che un comune irrazionale.
Capovolta, pensate un po’,
resta se stessa meno l’unità;
se poi di uno la aumentate
quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.

Nel mondo “aureo“ sono comuni le belle sorprese; analizziamo le seguenti:

data l’espressione

un modo elegante per  risolverla è quello di considerare “ X” come valore ricercato, per cui

elevando tutto al quadrato si ottiene

Si noti ora che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro “ X” originario. Perciò

Ma questa è l’ equazione del rapporto aureo! La nostra espressione senza fine è perciò uguale a ф.
Occupiamoci ora di un tipo molto diverso di espressioni senza fine, questa volta basato sulle frazioni invece che sulle radici quadrate:

Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come “frazioni continue”.
Per risolvere l’espressione si procede in modo analogo al primo esempio per cui

Si noti che siccome la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra dell’equazione è uguale a “X” stesso. L’ equazione può essere scritta :

Moltiplicando ambo i membri per “X”, otteniamo

cioè, ancora una volta, la formula del rapporto aureo!
La poesia Media costante di Paul S. Bruckman non dimentica nemmeno questa proprietà:

Scritta come frazione  con continuità,
è uno, uno, uno,... fino a sazietà;
Così chiara che più chiara alcuna non resta
(non vi comincia a girare un po’ la testa?)