Iniziamo col calcolare il valore di ф. Dato il segmento AB e
diviso (secondo il rapporto aureo) nel punto C, definiamo AC = x e BC = 1.
Notiamo come si possa scrivere che
quindi
e
perciò
le soluzioni sono:
La
soluzione positiva fornisce il valore del rapporto aureo: 1,6180339887….... Analizziamo ora alcune proprietà legate a questo risultato. Si
provi ad elevare l’intero numero al quadrato e successivamente si faccia il
reciproco ( ); curioso, vero? Il quadrato è 2,6180339887….
mentre il suo reciproco è 0,6180339887….. Le cifre dopo il punto decimale sono
esattamente le stesse!
Paul
S. Bruckman, di Concord in California, ha pubblicato nel 1977 una graziosa
poesia intitolata Media costante:
La media aurea non è affatto
banale Tutt’altra cosa che un comune
irrazionale. Capovolta, pensate un po’, resta se stessa meno l’unità; se poi di uno la aumentate quel che otterrete, vi
assicuro, è il quadrato.
Nel
mondo “aureo“ sono comuni le belle sorprese; analizziamo le seguenti:
data
l’espressione
un
modo elegante per risolverla è quello
di considerare “ X” come valore ricercato, per cui
elevando
tutto al quadrato si ottiene
Si noti ora che il secondo addendo del membro di destra è
uguale al nostro “ X” originario. Perciò
Ma questa è l’ equazione del rapporto aureo! La nostra
espressione senza fine è perciò uguale a ф. Occupiamoci
ora di un tipo molto diverso di espressioni senza fine, questa volta basato
sulle frazioni invece che sulle radici quadrate:
Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità
matematiche note come “frazioni continue”. Per risolvere l’espressione si procede in modo analogo al
primo esempio per cui
Si
noti che siccome la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro
di destra dell’equazione è uguale a “X” stesso. L’ equazione può essere
scritta :
Moltiplicando ambo i membri per “X”, otteniamo
cioè,
ancora una volta, la formula del rapporto aureo! La
poesia Media costante di Paul S.
Bruckman non dimentica nemmeno questa proprietà:
Scritta come frazione con continuità, è uno, uno, uno,...
fino a
sazietà; Così chiara che più chiara
alcuna non resta (non vi comincia a girare un
po’ la testa?)
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