La
matematica
svela
il
suo
volto
beffardo
ed ironico
nella
presenza
al
suo
interno
di
paradossi
ed
antinomie.
I
due
termini
vengono
spesso
usati
come
sinonimi,
ma
non
lo
sono:
chiariamo
la
questione.
Un paradosso, dal greco παρὰ (contro) e δόξα
(opinione), è una conclusione che appare inaccettabile perché sfida
un'opinione comune: esso consiste in una
proposizione dimostrabile e logicamente coerente, ma
lontana dall'intuizione; l'antinomia, invece, consiste in una vera e
propria contraddizione logica.
Si
capisce
quindi
come
la
seconda
sia
più
grave
ed
imbarazzante
del
primo.
Le
antinomie
matematiche
(volgarmente
dette
paradossi),
nonostante
la
loro
apparente
marginalità,
sono assolutamente
basilari per
gli
sviluppi
di
questa
disciplina:
alcune
di
esse,
infatti,
investono
gli
stessi
fondamenti
logici
della
matematica,
andando
a
mettere
in
crisi
i
princìpi
primi
del
retto
ragionare
e
minando
alla
base
l'intero
edificio
logico-matematico
su
di
essi
costruito.
Di
qui
l'esigenza
di
risolvere
tassativamente
queste
antinomie
da
parte
dei
matematici.
Di
seguito
ne
prenderò
in
esame
un
paio.
Il
paradosso
di
Russell
o
"paradosso
del
barbiere"
E'
un
paradosso
che
riguarda
la
teoria
degli
insiemi.
Bertrand
Russell
Bertrand
Russell immaginò di
suddividere gli insiemi in due categorie:
- Gli insiemi che tra i loro elementi hanno loro stessi;
- Gli insiemi che tra i loro elementi non hanno loro stessi.
Come esempio
della prima categoria possiamo prendere "l'insieme di tutti i concetti astratti": essendo
esso
stesso un concetto astratto,
ha
se
stesso
tra
i
suoi
elementi.
Si
suol
dire
che
questi
insiemi
appartengono a se stessi;
il
simbolo
è:
Come esempio
della
seconda
categoria
possiamo
prendere
quello
che
usò Russell
stesso: "l'insieme di tutte le tazze da tè". Ebbene,
l'insieme
di
tutte
le
tazzè
da
tè
non è
evidentemente una tazza da tè,
per
cui
l'insieme
non
ha
se
stesso
al
suo
interno.
Si
suol
dire
che
questi
insiemi non appartengono a se stessi;
il
simbolo
è:
Prendiamo
ora
in
considerazione l'insieme di tutti gli insiemi della
seconda
categoria
(=
che non appartengono a se stessi), che
chiameremo R.
che
si
legge:
R
è
l'insieme
di
tutti
gli
insiemi
tali
che
l'insieme
non
contenga
se
stesso
al
suo
interno.
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