La matematica svela il suo volto beffardo ed ironico nella presenza al suo interno di paradossi ed antinomie.

I due termini vengono spesso usati come sinonimi, ma non lo sono: chiariamo la questione.

Un paradosso, dal greco παρὰ (contro) e δόξα (opinione), è una conclusione che appare inaccettabile perché sfida un'opinione comune: esso consiste in una proposizione dimostrabile e logicamente coerente, ma lontana dall'intuizione; l'antinomia, invece, consiste in una vera e propria contraddizione logica.

Si capisce quindi come la seconda sia più grave ed imbarazzante del primo.

Le antinomie matematiche (volgarmente dette paradossi), nonostante la loro apparente marginalità, sono assolutamente basilari per gli sviluppi di questa disciplina: alcune di esse, infatti, investono gli stessi fondamenti logici della matematica, andando a mettere in crisi i princìpi primi del retto ragionare e minando alla base l'intero edificio logico-matematico su di essi costruito.

Di qui l'esigenza di risolvere tassativamente queste antinomie da parte dei matematici.

Di seguito ne prenderò in esame un paio.

Il paradosso di Russell o "paradosso del barbiere"

E' un paradosso che riguarda la teoria degli insiemi.

Bertrand Russell

Bertrand Russell immaginò di suddividere gli insiemi in due categorie:

Gli insiemi che tra i loro elementi hanno loro stessi;
Gli insiemi che tra i loro elementi non hanno loro stessi.

Come esempio della prima categoria possiamo prendere "l'insieme di tutti i concetti astratti": essendo esso stesso un concetto astratto, ha se stesso tra i suoi elementi.

Si suol dire che questi insiemi appartengono a se stessi; il simbolo è:

Come esempio della seconda categoria possiamo prendere quello che usò Russell stesso: "l'insieme di tutte le tazze da tè". Ebbene, l'insieme di tutte le tazzè da tè non è evidentemente una tazza da tè, per cui l'insieme non ha se stesso al suo interno.

Prendiamo ora in considerazione l'insieme di tutti gli insiemi della seconda categoria (= che non appartengono a se stessi), che chiameremo R.

che si legge: R è l'insieme di tutti gli insiemi tali che l'insieme non contenga se stesso al suo interno.