IL PENTAGRAMMA E IL TEOREMA DELLA CORDA

 

 

Il pentagramma (dal greco pente, "cinque" e gramma, "linea") è una stella a cinque punte.

Geometricamente lo si definisce la figura intrecciata che ha come lati le diagonali di un pentagono regolare.

Un pentagramma infatti può essere formato da un pentagono regolare capovolto o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue diagonali, e la figura risultante contiene varie lunghezze correlate dalla proporzione aurea.

Proprio per questo fu molto caro ai pitagorici.

 

Pentagramma

Pentagramma inscritto in un pentagono

 

Si tratta del più semplice tipo di poligono stellato.

Un poligono stellato è una linea spezzata chiusa che delimita un insieme stellato del piano. A differenza degli ordinari poligoni, la linea spezzata può autointersecarsi: coppie di spigoli distinti possono cioè intersecarsi in un punto interno.

Un poligono stellato regolare ha spigoli tutti di eguale lunghezza, e angoli ai vertici di eguale ampiezza.

In particolare, se \ell è il lato del poligono regolare stellato e \ell_P la distanza tra due vertici adiacenti dello stesso, vale la relazione:

\frac{\ell}{\ell_P} = \frac{\sin \frac{\pi k}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}

dove n è il numero di vertici del poligono e k la distanza modulare tra due vertici connessi dal lato del poligono stellato.

Dimostriamolo.

Inscrivendo il poligono stellato in una circonferenza di raggio R, si osserva che il segmento che congiunge due vertici adiacenti è una corda, la cui lunghezza è, per il teorema della corda,

 

con θ angolo alla circonferenza, di ampiezza π / n.

 

Il lato del poligono stellato è un'altra corda, lunga