Il pentagramma (dal greco pente, "cinque" e gramma, "linea") è una stella a cinque punte.
Geometricamente
lo si definisce
la figura intrecciata che ha come lati le
diagonali di un pentagono regolare.
Un pentagramma infatti
può essere formato da un
pentagono
regolare capovolto o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue
diagonali, e la figura risultante contiene varie lunghezze correlate
dalla proporzione aurea.
Proprio
per questo fu molto caro ai pitagorici.
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Pentagramma
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Pentagramma
inscritto
in un
pentagono
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Si tratta del più semplice tipo
di poligono stellato.
Un poligono stellato è una
linea spezzata chiusa che delimita un insieme stellato del piano. A differenza degli ordinari poligoni, la linea spezzata può autointersecarsi: coppie di spigoli distinti possono cioè intersecarsi in un punto interno.
Un poligono stellato regolare ha spigoli tutti di eguale lunghezza, e angoli ai vertici di eguale ampiezza.
In particolare, se è il lato del poligono regolare stellato e la distanza tra due vertici adiacenti dello stesso, vale la relazione:
dove n è il numero di vertici del poligono e k la distanza modulare tra due vertici connessi dal lato del poligono stellato.
Dimostriamolo.
Inscrivendo il poligono stellato in una circonferenza di raggio R, si osserva che il segmento che congiunge due vertici adiacenti è una corda, la cui lunghezza è, per il teorema della corda,
- ,
con θ angolo alla circonferenza, di ampiezza π / n.
Il lato del poligono stellato è un'altra corda, lunga
ove k esprime la distanza modulare dei vertici del poligono. Rapportando le lunghezze, si ottiene
come
volevasi
dimostrare.
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