Per Pitagora "tutto è numero": il numero è la chiave per svelare i segreti dell'universo. E per Pitagora i numeri erano tutti esprimibili attraverso semplici e "rassicuranti" rapporti matematici, frazioni di numeri interi.
Ma un giorno questo universo fatto di solide certezze matematiche vacillò fin quasi a crollare, sotto il peso di una nuova, terribile scoperta. Qualcuno (probabilmente Ippaso di Metaponto) si accorse, a partire dalla semplice figura del quadrato, che il lato e la diagonale avevano lunghezze che non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.
Fu un vero e proprio terremoto: si aprivano nell'universo dei numeri "buchi neri" impensabili: i numeri irrazionali, la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Come prima conseguenza della scoperta, i Pitagorici furono costretti ad ammettere che il punto non ha dimensioni, contrariamente a quanto avevano sempre creduto e affermato: essi infatti ritenevano che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Ora invece risultava evidente che un segmento e in generale una figura geometrica sono costituiti da infiniti punti di dimensione nulla. Infatti, nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti, ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti, e corrisponderebbe quindi ad x volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe y volte la dimensione del punto.

Pitagora di Samo

Il lato e la diagonale avrebbero quindi un sottomultiplo comune, il punto, e non sarebbero perciò incommensurabili, come invece era risultato evidente. E' proprio la loro incommensurabilità a richiedere che un segmento sia costituito da un numero infinito di punti.
La figura qua sotto aiuta a capire perché.

Costruiamo un quadrato di lato unitario.
Sappiamo che il rapporto fra la diagonale a e il lato b è pari a . In questo specifico caso si ha che a:b = , quindi a:1 = , quindi = a:1, quindi la diagonale misura .
1 rappresenta la lunghezza del lato ed è anche, sulla retta numerica, la distanza dall'origine.
La diagonale è lunga , ma è anche, proiettata sulla retta numerica, la distanza dall'origine, un numero che per i pitagorici non aveva diritto di esistere, con infinite cifre dopo la virgola.

Per loro, sulla retta numerica c'erano soltanto numeri interi e frazioni, a ciascuno dei quali corrispondeva un punto. In questo modo, invece, si doveva ammettere che il segmento della retta compreso tra 1 e 2 fosse costituito da infiniti punti.